수학Ⅱ 미분·적분 1쪽 시험 요약

참고: 원문 자료가 첨부되지 않아 아래 출제 우선순위는 시험 범위와 60분 계산형 시험 형식에 따른 잠정 판단입니다. 프린트·오답노트·EBS 요약본을 받으면 강조도에 맞춰 다시 압축할 수 있습니다.

1. 반드시 암기할 것

미분 기본

[ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h ]

[ (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (c)'=0 ]

[ (cf)'=cf',\qquad (f\pm g)'=f'\pm g' ]

• (f'(a)): (x=a)에서의 순간변화율, 접선의 기울기
• 접선 방정식:

[ y-f(a)=f'(a)(x-a) ]

도함수의 활용

• (f'(x)>0): 증가
• (f'(x)<0): 감소
• (f'(x)=0): 극값 후보
• 부호가 (+\to-): 극대
• 부호가 (-\to+): 극소
• 닫힌구간 최댓값·최솟값: 끝점과 내부 임계점 모두 비교

부정적분

[ \int f(x),dx=F(x)+C\quad\text{(단, }F'(x)=f(x)\text{)} ]

[ \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1) ]

[ \int(cf\pm g),dx=c\int f,dx\pm\int g,dx ]

• 부정적분의 결과는 함수들의 모임이므로 반드시 (+C)

정적분

[ \int_a^b f(x),dx=F(b)-F(a) ]

[ \int_a^a f(x),dx=0,\qquad \int_a^b f(x),dx=-\int_b^a f(x),dx ]

[ \int_a^b f(x),dx+\int_b^c f(x),dx =\int_a^c f(x),dx ]

• (f(x)\ge0)이면 정적분값 = 넓이
• 그래프가 (x)축 아래이면 정적분은 음수
• 기하학적 넓이:

[ \int_a^b |f(x)|,dx ]

또는 (x)축과의 교점에서 구간을 나누어 부호를 바꾼다.

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2. 이해하면 유도할 수 있는 것

핵심 관계	문제에서의 사용
(f')의 부호 → (f)의 증가·감소	도함수 부호표를 만든다
(f')의 부호 변화 → 극대·극소	임계점 양옆의 부호를 비교한다
(f'(a)) → 접선 기울기	점 (a)를 대입하고 접선식을 세운다
(F'=f) → (\int f=F+C)	미분 결과를 거꾸로 읽는다
정적분 = 원시함수 값의 차	(F(b)-F(a))를 계산한다
정적분의 부호 → 위치 관계	그래프가 축 위·아래인지 확인한다
구간 분할 가능	교점, 부호 변화점에서 적분을 나눈다
다항함수의 차수 감소	(n)차 함수의 도함수는 (n-1)차 이하이다

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3. 안전하게 건너뛸 것

다음은 현재 제시된 범위와 시험 형식만으로는 우선순위가 낮다.

• 긴 증명과 정리의 역사적 배경
  → 객관식·단답형 계산 시험의 직접 출제 가능성이 낮음
• 복잡한 실생활 서술형 모델링
  → 60분 시험에서는 식 세우기보다 계산·판정 문제가 유리함
• 같은 유형의 반복 예제
  → 대표 1문제만 풀고 오답 유형을 정리
• 계산기 전제의 근삿값 문제
  → 계산기 사용 불가
• 지수·로그·삼각함수의 미분·적분
  → 명시된 범위인 다항함수와 수학Ⅱ 미분·적분 내용 밖이므로 제외

다만 다음은 자료에 따라 포함 여부가 달라질 수 있어 확인이 필요하다.

• 미분계수의 극한 정의를 직접 계산하는 문제
• 곱의 미분법
• 속도·가속도 해석
• 정적분을 이용한 두 곡선 사이의 넓이
• 평균변화율과 평균값 관련 문제

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4. 1쪽 배치

왼쪽 위: 시험 직전 가장 먼저 볼 곳

「암기 공식」을 배치한다.

1. 미분 공식
2. 접선 공식
3. 극대·극소 부호 변화
4. 부정적분 공식
5. 정적분 기본정리

중앙: 문제 풀이 순서

• 도함수 문제
  (f'(x)) 계산 → (f'(x)=0) 후보 찾기 → 부호표 → 증가·감소·극값
• 최댓값·최솟값
  내부 후보 + 구간 끝점 → 함수값 비교
• 넓이 문제
  교점 찾기 → 축 위·아래 확인 → 구간 분할 → 적분
• 접선 문제
  점 확인 → (f'(a)) 계산 → (y-f(a)=f'(a)(x-a))

오른쪽 여백

실수 방지용으로 적는다.

• (f'(x)=0)이라고 무조건 극값은 아님
• 끝점은 극값 후보에 포함
• 부정적분에는 (+C)
• 정적분은 (F(b)-F(a))
• 넓이와 정적분값은 부호가 다를 수 있음

아래쪽 여백

자주 틀리는 계산을 적는다.

• 상수의 미분은 (0)
• (x^n) 미분 시 지수를 앞으로 내리고 지수를 1 감소
• 적분 시 지수를 1 증가시키고 새 지수로 나눔
• 넓이는 교점에서 반드시 구간을 나눔

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5. 출제 가능성이 높은 5가지

자료 원문이 없으므로 잠정 순위이다.

1. 다항함수의 도함수 계산
2. 도함수의 부호를 이용한 증가·감소와 극값
3. 닫힌구간에서 최댓값·최솟값 구하기
4. 부정적분 또는 정적분 계산
5. 그래프와 (x)축 사이의 넓이 및 정적분의 부호

객관식에서는 부호·그래프 판정이, 단답형에서는 도함수 계산·극값·적분 계산이 상대적으로 유리한 형식이다.

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6. 혼동쌍

혼동하기 쉬운 것	구별
(f'(a)) vs (f(a))	(f'(a))는 기울기, (f(a))는 함수값
(f'(x)=0) vs 극값	(f'(x)=0)은 후보일 뿐, 부호 변화 확인 필요
극대·극소 vs 최댓값·최솟값	극대·극소는 국소적, 최댓값·최솟값은 구간 전체 비교
증가 vs (f(x)>0)	증가는 (f'(x)>0), 함수값의 양수 여부와 다름
부정적분 vs 정적분	부정적분은 함수 (+C), 정적분은 구간의 수
(\int f(x)dx) vs (\int_a^b f(x)dx)	전자는 (+C), 후자는 (F(b)-F(a))
정적분값 vs 넓이	축 아래 부분은 정적분에서 음수, 넓이에서는 양수
(+\to-) vs (-\to+)	(+\to-): 극대, (-\to+): 극소
내부 임계점 vs 구간 끝점	최댓값·최솟값 문제에서는 둘 다 대입
미분의 지수 처리 vs 적분의 지수 처리	미분: 지수 감소, 적분: 지수 증가 후 나눔

한쪽에 다 안 들어갈 때 먼저 자를 내용

증명, 긴 예제, 반복 유형, 세부적인 유도 과정을 먼저 삭제한다. 공식·부호 변화·끝점 비교·적분의 부호 규칙은 남긴다.