첨부된 디지털신호처리_3장_이산푸리에변환.pdf가 현재 작업 공간에서 확인되지 않습니다. 따라서 아래 내용은 교재 원문에 맞춘 분석이 아니라, 일반적인 3.2절 “DFT와 FFT”의 표준 내용을 기준으로 정리한 초안입니다. PDF를 다시 첨부해 주시면 식 번호, 예제, 그림 순서까지 원문과 대조해 보완하겠습니다.

3.2 이산 푸리에 변환(DFT)과 고속 푸리에 변환(FFT)

1. DFT의 목적

시간 영역의 이산 신호 (x[n])를 주파수 영역으로 변환하면 신호에 포함된 주파수 성분의 크기와 위상을 분석할 수 있습니다.

길이가 (N)인 신호

[ x[0],x[1],\ldots,x[N-1] ]

의 (N)점 DFT는 다음과 같이 정의됩니다.

[ X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}, \qquad k=0,1,\ldots,N-1 ]

여기서

• (x[n]): 시간 영역 신호
• (X[k]): 주파수 영역 신호
• (N): DFT에 사용되는 표본 수
• (k): 주파수 인덱스
• (j=\sqrt{-1})

입니다.

DFT 결과는 일반적으로 복소수입니다.

[ X[k]=|X[k]|e^{j\angle X[k]} ]

따라서

[ |X[k]| ]

는 각 주파수 성분의 크기이고,

[ \angle X[k] ]

는 위상입니다.

---

2. 역 DFT

주파수 영역의 (X[k])로부터 원래의 시간 신호를 복원할 수 있습니다.

[ x[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j\frac{2\pi}{N}kn} ]

DFT와 IDFT의 차이는 다음과 같습니다.

• DFT: 시간 영역 → 주파수 영역
• IDFT: 주파수 영역 → 시간 영역
• IDFT에는 (1/N)의 크기 보정이 포함됨
• 지수 함수의 부호가 DFT와 반대임

---

3. 주파수 축

표본화 주파수가 (f_s)이고 DFT 크기가 (N)이면 (k)번째 주파수 빈의 주파수는

[ f_k=\frac{k}{N}f_s ]

입니다.

주파수 해상도는

[ \Delta f=\frac{f_s}{N} ]

입니다.

즉, (N)이 커질수록 주파수 축을 더 세밀하게 관찰할 수 있습니다. 단, 신호의 실제 관측 시간이 고정된 상태에서 단순히 0을 추가하는 zero-padding은 표시를 부드럽게 만들 뿐, 실제 분해능 자체를 증가시키지는 않습니다.

실수 신호의 경우 DFT는 켤레 대칭을 가집니다.

[ X[N-k]=X^*[k] ]

따라서 보통 양의 주파수 영역만 표시할 때는 (0)부터 (f_s/2)까지 사용합니다.

---

4. 직접 DFT 계산 MATLAB 코드

clear;
clc;
close all;

%% 신호 설정
fs = 1000;              % 표본화 주파수 [Hz]
N = 64;                 % DFT 표본 수
n = 0:N-1;              % 시간 인덱스

f1 = 125;               % 첫 번째 정현파 주파수 [Hz]
f2 = 250;               % 두 번째 정현파 주파수 [Hz]

x = 1.0*sin(2*pi*f1*n/fs) ...
  + 0.5*sin(2*pi*f2*n/fs);

%% 직접 계산한 DFT
X_direct = zeros(1, N);

for k = 0:N-1
    for n_idx = 0:N-1
        X_direct(k+1) = X_direct(k+1) ...
            + x(n_idx+1)*exp(-1j*2*pi*k*n_idx/N);
    end
end

%% MATLAB FFT 계산
X_fft = fft(x);

%% 직접 DFT와 FFT의 차이
error_value = max(abs(X_direct - X_fft));

fprintf('직접 DFT와 FFT의 최대 오차: %.3e\n', error_value);

%% 주파수 축
f = (0:N-1)*fs/N;

%% 시간 영역 신호
figure;

subplot(3,1,1);
stem(n, x, 'filled');
grid on;
xlabel('표본 인덱스 n');
ylabel('진폭');
title('시간 영역 신호');

%% DFT 크기 스펙트럼
subplot(3,1,2);
stem(f, abs(X_direct), 'filled');
grid on;
xlabel('주파수 [Hz]');
ylabel('|X[k]|');
title('직접 계산한 DFT 크기 스펙트럼');
xlim([0 fs]);

%% FFT 크기 스펙트럼
subplot(3,1,3);
stem(f, abs(X_fft), 'filled');
grid on;
xlabel('주파수 [Hz]');
ylabel('|X[k]|');
title('FFT 크기 스펙트럼');
xlim([0 fs]);

코드 설명

fs는 표본화 주파수이고, N은 DFT의 크기입니다.

n = 0:N-1;

은 시간 영역의 표본 인덱스를 만듭니다.

다음 부분은 두 개의 정현파를 합성합니다.

x = 1.0*sin(2*pi*f1*n/fs) ...
  + 0.5*sin(2*pi*f2*n/fs);

첫 번째 성분의 진폭은 1, 두 번째 성분의 진폭은 0.5입니다. 따라서 주파수 스펙트럼에서는 (125) Hz 성분이 (250) Hz 성분보다 크게 나타납니다.

직접 DFT 계산 부분은 정의식 그대로 두 개의 반복문으로 구현했습니다.

for k = 0:N-1
    for n_idx = 0:N-1
        X_direct(k+1) = X_direct(k+1) ...
            + x(n_idx+1)*exp(-1j*2*pi*k*n_idx/N);
    end
end

MATLAB 배열 인덱스는 1부터 시작하므로 수학적 인덱스 (k,n=0)을 사용할 때는 k+1, n_idx+1을 사용합니다.

1j는 MATLAB에서 허수 단위 (j)를 의미합니다.

X_fft = fft(x);

는 MATLAB의 FFT 함수입니다. FFT는 DFT와 같은 결과를 계산하지만, 계산 순서를 효율적으로 바꾸어 실행 시간을 줄입니다.

error_value = max(abs(X_direct - X_fft));

는 직접 계산한 DFT와 MATLAB FFT의 최대 차이를 계산합니다. 일반적으로 이 값은 부동소수점 오차 수준의 매우 작은 값입니다.

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5. FFT의 원리

직접 DFT는 각 (k)에 대해 (N)개의 항을 더하므로 전체 계산량이 대략

[ N^2 ]

에 비례합니다.

반면 FFT는 DFT 계산에 반복적으로 나타나는 항을 재사용합니다. 대표적인 radix-2 FFT는 신호를 짝수 인덱스와 홀수 인덱스로 나눕니다.

[ X[k]

\sum_{r=0}^{N/2-1}x[2r]W_N^{2rk} + \sum_{r=0}^{N/2-1}x[2r+1]W_N^{(2r+1)k} ]

여기서

[ W_N=e^{-j2\pi/N} ]

입니다.

이를 정리하면

[ X[k]=E[k]+W_N^kO[k] ]

[ X[k+N/2]=E[k]-W_N^kO[k] ]

가 됩니다.

• (E[k]): 짝수 인덱스 표본의 DFT
• (O[k]): 홀수 인덱스 표본의 DFT
• (W_N^k): 회전 인자 또는 twiddle factor

이 과정을 반복하면 계산량이

[ O(N^2) ]

에서

[ O(N\log_2N) ]

으로 감소합니다.

예를 들어 (N=1024)일 때 직접 DFT는 대략 (1024^2)번의 연산이 필요하지만, FFT는 대략 (1024\log_2(1024)=10240) 수준의 단계로 계산할 수 있습니다.

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6. FFT 실행 시간 비교 코드

clear;
clc;

N_values = [64 128 256 512 1024 2048 4096];
dft_time = zeros(size(N_values));
fft_time = zeros(size(N_values));

for i = 1:length(N_values)

    N = N_values(i);
    x = rand(1, N);

    % 직접 DFT 시간 측정
    tic;

    X = zeros(1, N);

    for k = 0:N-1
        for n = 0:N-1
            X(k+1) = X(k+1) ...
                + x(n+1)*exp(-1j*2*pi*k*n/N);
        end
    end

    dft_time(i) = toc;

    % FFT 시간 측정
    tic;
    fft(x);
    fft_time(i) = toc;
end

%% 결과 표시
figure;
loglog(N_values, dft_time, 'o-', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
loglog(N_values, fft_time, 's-', 'LineWidth', 1.5);
grid on;

xlabel('DFT 크기 N');
ylabel('실행 시간 [초]');
title('직접 DFT와 FFT의 실행 시간 비교');
legend('직접 DFT', 'FFT', 'Location', 'northwest');

이 코드는 DFT 크기 (N)을 증가시키면서 직접 DFT와 FFT의 실행 시간을 비교합니다. 로그-로그 그래프로 표시하면 직접 DFT는 대략 (N^2)에 비례하여 증가하고, FFT는 훨씬 느리게 증가하는 경향을 확인할 수 있습니다.

실행 시간이 매우 짧은 경우에는 측정 환경에 따라 결과가 흔들릴 수 있으므로, 실제 실험에서는 여러 번 반복하여 평균 시간을 사용하는 것이 더 정확합니다.

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7. 양측 스펙트럼과 단측 스펙트럼

실수 신호의 양측 스펙트럼은 (0)부터 (f_s)까지 표시할 수 있지만, 일반적으로는 음의 주파수를 포함하는 중심 정렬 스펙트럼을 사용합니다.

clear;
clc;
close all;

fs = 1000;
N = 256;
n = 0:N-1;

x = sin(2*pi*125*n/fs);
X = fft(x);

% FFT 결과를 0 Hz 중심으로 이동
X_centered = fftshift(X);

% -fs/2부터 fs/2까지의 주파수 축
f_centered = (-N/2:N/2-1)*fs/N;

figure;
plot(f_centered, abs(X_centered), 'LineWidth', 1.5);
grid on;
xlabel('주파수 [Hz]');
ylabel('|X[k]|');
title('중심 정렬된 양측 진폭 스펙트럼');

fftshift는 FFT 결과에서 0 Hz 성분을 가운데로 이동시킵니다. 이를 통해 양의 주파수와 음의 주파수를 대칭적으로 확인할 수 있습니다.

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핵심 정리

• DFT는 유한 길이 이산 신호를 주파수 성분으로 분해한다.
• DFT 결과는 크기와 위상 정보를 포함하는 복소수이다.
• IDFT를 사용하면 원래 시간 신호를 복원할 수 있다.
• 직접 DFT의 계산량은 (O(N^2))이다.
• FFT는 DFT와 동일한 결과를 더 적은 계산으로 구한다.
• FFT의 대표적인 계산량은 (O(N\log N))이다.
• MATLAB에서는 fft와 ifft로 FFT와 역변환을 계산한다.
• 주파수 해상도는 (f_s/N)이다.
• 실수 신호의 DFT는 켤레 대칭 특성을 가진다.

현재 단계에서는 PDF가 없어 교재 고유의 예제와 도표를 정확히 반영할 수 없습니다. PDF를 다시 첨부하면 이 내용을 원문 기준으로 수정한 뒤, 다음 형식으로 계속 진행하겠습니다.

1. 교재의 3.2절 세부 소단락별 분석
2. 각 수식과 그림의 의미 설명
3. 소단락별 MATLAB 코드
4. 코드 실행 결과 해석
5. 최종 PowerPoint 슬라이드 구성안 및 발표 원고